Spectre identice la semanle diferite

[YO4BKM]

Bună seara (în YO), Gabi VA3FGR!

Când m-am referit la „Transformata Fourier completa” am avut în vedere ceva cu totul particular și formularea îmi aparține fără să o impun și altora. Și nici nu o folosesc sistematic.
Nu m-a interesat prea mult trasformata Fourier continuă din mai multe motive:
- Lucram cu date experimentale înregistrate analogic sau discret. Dacă înregistrările erau analogice (diagrame pe hârtie trasate cu echipamente analogice) atunci foloseam un procedeu propriu pentru discretizare: scanam graficul si îl transformam într-un fișier BMP monocrom, apoi cu o aplicație proprie „citeam” graficul din care obțineam funcția numerică discretă cu discretizarea care rezulta din rezoluția imaginii scanate, respectiv eșantionul de timp era dat de valorile care rezultau între doi pixeli, la fel și valoarea funcției.
- În cazurile în care abordam și funcții teoretice, rezolvarea concretă o făcem prin metode numerice pentru care discretizam funcția continuă unde alegeam orice discretizare doream. Singura formă teoretică am folosit-o când am demonstrat că un semnal sinusoidal infinit de lung are un spectru identic cu o functie Dirac numai că aria de sub spectru nu este egală cu 1 ca la funcțiile Dirac (valoare adoptată absolut convențional) ci un număr transcendent, o constantă independentă de amplitudinea și frecvența semalului.
- Toate cazurile practice pe care le rezolvam aveau o durată finită în timpul care „curgea” de la valoarea zero prin alegerea convenabilă a originii, nu între momente cuprinse între minus și plus infinit care apar în trasformata Fourier continuă.
Am folosit numai tranasformata Fourier discretă pe domenii finite de timp. La primele experimente făcute cu oscilatoare neliniare, îmi amintesc că prin 2002-2003, măsurătorile au fost prelucrate inițial cu Matlab sau Labview care, conform documentației, foloseau transformata Fourier rapidă iar spectrul nu arăta conform așteptărilor. Când am programat un calculator să rezolve spectrul cu transformata Fourier discretă „ca la carte” rezultatele au devenit mai bune. Atunci am observcat prima dată că spectrul depinde de lungimea semnalului chiar dacă alura lui rămâne aceeași pe durate lungi. La experimente participam patru persoane și, în discuțiile purtate am început să numim transformata Fourier discretă programată „ca la carte” drept „transformată Fourier competă”, ca să o deosebim de cea implementată pe mediile Labview sau Matlab și care făcea parte tot din categoria transformatelor discrete. Și așa m-am obișnuit, dar numai când caut să precizez că nu este vorba de cea rapidă, nu ca să o folosesc sistematic. Deci este vorba de transformata Fourier discretă.
Câțiva ani mai târziu când un doctorand s-a apucat să cerceteze înregistrările de la Institutul Național de fizică a pământului a început tot cu Labview sau Matlab, dar spectrul care rezulta nu explica de ce se prăbușesc ziduri, hornuri, mobilier, obiecte atârnate pe pereți care, datorită pulsațiilor proprii mult diferite de ale seismului nu puteau fi excitate prin rezonanță. Dar un seism are un număr redus de perioade și un spectru aflat din programarea transformatei Fourier discretă a dus la identificarea unei benzi foarte largi de frecvențe care puteau excita un spectru larg de pulsații proprii. Un experiment făcut pe ștand a arătat același lucru. Și atunci, ca să le deosebim, o numeam tot „Transformata completă”, nu că altele ar fi fost incomplete.
Nu închei înainte de a mai preciza ceva: dacă două semanle au pulsații destul de apropiate și dacă transformata Fourier se face pe o lungime redusă a semnalelor, acestea nu vor fi evidențiate în spectrul care rezultă în zona lor cu o bandă foarte largă.

73 de Tavi YO4BKM!

[YO3ITI]

Buna ziua d-le. Profesor (yo4bkm),

Va urmaresc de multa vreme postarile si observ utilizarea sistematica de catre dvs. a termenului "Transformata Fourier Completa". Care este definitia acesteia?

In cautarile mele nu am intalnit decat Transformata Fourier Continua si cea Discreta. Prin urmare, v-as ruga sa elaborati putin in legatura cu cea Completa si de ce considerati ca celelalte variante sunt "incomplete".

Va multumesc,
Gabi

În liceu am avut un profesor de fizică tare simpatic care, printre altele, ne lăsa să urmărim la unele dintre orele lui meciurile Universității Craiova. Erau anii de aur ai acelei echipe și nu am să uit niciodată că meciul cu Bordeaux l-am urmărit cu toții, în cap cu profu' de fizică, pe televizorul meu Sport, în timpul unei ore de fizică. Dar nu despre asta voiam să povestesc, ci despre umorul lui deosebit și felul subtil în care amuțea, pe vremea aia, prostia cu origini sănătoase. Țin minte și acum multe dintre expresiile lui adorabile gen "el pe două" (l/2) și alte bancuri mai mult sau mai puțin nevinovate.

Erau anii în care se făceau multe materii tehnice, la una dintre ele (Mecanisme și organe de mașini - MOM) aveam un pseudopedagog, un cretin politruc cu pretenții, care făcea crize de nervi când cineva îndrăznea să-l contrazică. Una dintre aceste izbucniri, s-a petrecut când, scriind pe tablă ecuația generală a accelerației, unui dintre noi a exclamat "ecuația lui Galilei !". Roșu de furie că a fost întrerupt, imbecilul s-a răsucit pe călcâie și a răcnit către noi: "Ecuația asta e a lui Bernoulli !".

Evident că la următoarea oră de fizică i-am povestit episodul simpaticului prof de fizică. Ne-a ascultat atent și, după o pauză destul de lungă, a spus calm: "Ei, copii, fiecare cu galileiul lui".

Deci, domnule Gabi, "fiecare cu galileiul lui".

73

Pese: ca să evit eventualele comentarii pe tema modului în care învățam fizica, deși unele dintre orele de fizică erau complet irosite și alături de programă, consumându-le în șuete și discuții existențiale, au fost anii în care am ajuns olimpic pe țară, pur și simplu din dragoste pentru iubitul nostru domn' Profesor Ioniță. E dus de mulți ani, dar nu am să-l uit niciodată, cu siguranță din motive cu totul diferite de cele din care, probabil, studenții nu-l uită pe dom' Profesor YO4BKM.

[yo8rzz]

Mai există Octave, care este o aplicație gratuită, foarte asemănătoare Matlab, dar nu se ridică la nivelul nici uneia dintre cele comerciale.

In interesul unei informari obiective a cititorilor acestui forum, as dori sa citez un studiu comparativ pe acest subiect realizat de Ecaterina Coman et al: http://profs.scienze.univr.it/caliari/pdf/octave.pdf

Deasemeni as dori sa mai amintesc ca dr. David Rowe PhD (VK5DGR) a dezvoltat Codec2 si modem-urile OFDM destinate HF si incluse in FreeDV (ceea ce mi se pare relavant privind activitatea radioamatoriceasca) folosind exclusiv Octave, iar pentru radioamatorii interesati de subiect site-ul sau personal http://www.rowetel.com/ cuprinde o larga varietate de articole pe acest subiect.

73,
Adi

[YO3ITI]

Salut, Adi.

Octave e o aplicație foarte bună, și este absolut normal ca în mediul academic și non-profit (în general) să fie preferate aceste tipuri de platforme. Asta nu doar din cauza costurilor, un aspect foarte important fiind caracterul deschis al aplicațiilor care permite dezvoltarea și stimularea aptitudinilor studenților. În plus, beneficiază de o comunitate de pasionați/ dezvoltatori/ contribuitori uriașă, cam pe modelul Python. Dar, odată ce ai lucrat în ceva cu adevărat "serios", nu te mai uiți în urmă.

În final, apropos de articolul (foarte interesant, dealtfel) comparativ, vezi că Mathematica nu e în lista celor comparate, iar eu vorbeam în principal despre Mathematica.

Îți mulțumesc pentru comentarii. Site-ul rowetel e al tău ? Extrem de interesant.

73

[yo8rzz]

Miron, site-ul rowetel.com este blogul personal al lui David Rowe VK5DGR, autorul Codec2.

Comentariul tau privind aplicatiile "serioase" mi-a starnit usor zambetul intrucat imi aminteste putin de disputele Linux vs. Windows de acum 20 de ani
Realitatea este ca unele aplicatii sunt mai usor de folosit din punct de vedere a interfetei utilizator si a curbei de invatare, altele mai greu, si preferintele personale nu se discuta. Insa GNU Octave este folosit pentru multe proiecte mai mult sau mai putin serioase, printre utilizatori fiind esa.int sau Joe Taylor K1JT (design-ul unui soft decoder Reed-Solomon pentru unele din modurile digitale frecvent folosite in WSJT-X a fost facut folosing GNU Octave).


Ceea ce mi-a starnit mai mult interesul in postarea ta de mai sus este exemplul de aplicare unui model ML la nivel de semnal audio si potentialele aplicatii practice, care merita expuse pentru cei mai putin familiarizati cu domeniul.

Probabil ai auzit deja despre WaveNET ( https://arxiv.org/pdf/1712.01120 ) care foloseste Codec2 ca input pentru reteaua neuronala. Proiectul LPCNet ( https://arxiv.org/pdf/1903.12087 ) al dr. Jean-Marc Valin (autorul principal al codecului Opus) aduce imbunatatiri acestei arhitecturi bazata pe retele neuronale, iar ulterior dr. David Rowe implementeaza aceste concepte in modul de operare HF FreeDV-2020 ( https://www.rowetel.com/wordpress/mini.html/?p=6747 ) care implica o calitate audio similara 8 kHz la un spectru real ocupat de 1600 Hz, si in plus este disponibil tuturor radioamatorilor fiind free software, incusiv datele folosite pentru training-ul retelei neuronale.

Asadar aplicatiile ML in domeniul speech coding sunt relativ recente, dar este un subiect aparent popular de cercetare in ultima vreme, alaturi de sistemele radio cognitive (aplicarea ML la nivel PHY).

Profit pe calea aceasta sa incurajez radioamatorii mai tineri sa exploreze si sa experimenteze cu proiecte software personale si mai ales cu software liber (Free Software) pentru care nu trebuie nici sa investeaca bani in licente, bani greu de gasit la inceputul carierei, si nici nu depind de vointa si directia unor companii care au propriile interese uneori divergente.

73,
Adi

[YO3ITI]

Miron, site-ul rowetel.com este blogul personal al lui David Rowe VK5DGR, autorul Codec2.

Da, după aia am observat, citind cu atenție.

Comentariul tau privind aplicatiile "serioase" mi-a starnit usor zambetul intrucat imi aminteste putin de disputele Linux vs. Windows de acum 20 de ani

Da, țin minte. Și ce pasiuni se stârneau ! EU mă refeream la altceva, dar, de acord, e și mult subiectivism din partea mea. Vezi mai jos.

Realitatea este ca unele aplicatii sunt mai usor de folosit din punct de vedere a interfetei utilizator si a curbei de invatare, altele mai greu, si preferintele personale nu se discuta.

Problema pe care o am eu cu majoritatea sistemelor open-source, free, gpl-like etc, mai mult sau mai puțin subiectivă, este faptul că sunt extrem de heterogene și toate oferă paradigme diferite. De fiecare dată când vrei să folosești altceva, trebuie să o iei de la capăt cu adaptarea și învățatul.

În plus, aproape în toate cazurile, procesul de instalare și configurare este greoi, necesită în general foarte multe etape, în operare te lovești mai întotdeauna de nevoia de a instala pachete suplimentare (lucru care nu este evident la prima vedere), iar suportul este heterogen, furnizat în general de comunitate, oamenii care o formează având opinii și abordări diferite. În plus depinzi mereu de cod scris de oameni diferiți, nu neapărat care respectă aceleași proceduri și standarde de programare. Timpul pe care îl irosești este uneori considerabil și asta este o constatare obiectivă.

Dar aș putea trece peste toate cele de mai sus dacă aș avea la îndemână o documentație utilizabilă și eficientă. Cu mici excepții, documentația este aproape inexistentă sau se adresează unui anumit nivel de cunoștințe, sau este scrisă dezorganizat. Eu, în aproape trei decenii de când mă lovesc de domeniul ăsta, nu am întâlnit nici un furnizor de soft free care să aibă o documentație măcar marginal comparabilă cu ce are MS aici https://docs.microsoft.com/ro-ro/. Doar un exemplu, dar aș fi putut alege STM, sau IBM sau multe alte firme din 3 litere. Ori genul ăsta de documentație economisește timp și nervi.

Insa GNU Octave este folosit pentru multe proiecte mai mult sau mai putin serioase, printre utilizatori fiind esa.int sau Joe Taylor K1JT (design-ul unui soft decoder Reed-Solomon pentru unele din modurile digitale frecvent folosite in WSJT-X a fost facut folosing GNU Octave).

Sunt convins și nu văd de ce nu ar face-o dacă nu vor să dea bani pe soafte. Dar, repet, Octave se apropie mai mult de Matlab și nu de Mathematica. Sunt abordări diferite.

Ceea ce mi-a starnit mai mult interesul in postarea ta de mai sus este exemplul de aplicare unui model ML la nivel de semnal audio si potentialele aplicatii practice, care merita expuse pentru cei mai putin familiarizati cu domeniul.

Probabil ai auzit deja despre WaveNET ( https://arxiv.org/pdf/1712.01120 ) care foloseste Codec2 ca input pentru reteaua neuronala. Proiectul LPCNet ( https://arxiv.org/pdf/1903.12087 ) al dr. Jean-Marc Valin (autorul principal al codecului Opus) aduce imbunatatiri acestei arhitecturi bazata pe retele neuronale, iar ulterior dr. David Rowe implementeaza aceste concepte in modul de operare HF FreeDV-2020 ( https://www.rowetel.com/wordpress/mini.html/?p=6747 ) care implica o calitate audio similara 8 kHz la un spectru real ocupat de 1600 Hz, si in plus este disponibil tuturor radioamatorilor fiind free software, incusiv datele folosite pentru training-ul retelei neuronale.

Asadar aplicatiile ML in domeniul speech coding sunt relativ recente, dar este un subiect aparent popular de cercetare in ultima vreme, alaturi de sistemele radio cognitive (aplicarea ML la nivel PHY).

Nu le știam, interesante lucrări. M-a atras mai demult un singur proiect cu aplicabilitate pentru algoritmii genetici în modelarea unei antene. Ăla mi s-a părut tare amuzant. Cum spuneam, în ultimii ani mi-am pierdut interesul pentru știință și tot ce reprezintă ea. Din varii motive.

Profit pe calea aceasta sa incurajez radioamatorii mai tineri sa exploreze si sa experimenteze cu proiecte software personale si mai ales cu software liber (Free Software) pentru care nu trebuie nici sa investeaca bani in licente, bani greu de gasit la inceputul carierei, si nici nu depind de vointa si directia unor companii care au propriile interese uneori divergente.

73,
Adi

Poate cu riscul de a deveni captive în schema furnizorilor comerciali de software - da, dar așa cum cred că știi, firmele preferă întotdeauna mentenanța plătită și suportul pe bază de SLA din motive evidente. Ceea ce, din câte știu, nu oferă nici un soft free (SLA-based agreements). Cred că asta e diferența majoră.

În plus, mulți tineri cad în capcana de a considera că, dacă stăpânesc lumea Free Software sau Free Hardware, stăpânesc tot universul. Arduino e un bun exemplu, dar și diverse softuri gratuite. Realitatea e tragică. Când ajung să caute de lucru, descoperă că trebuie să reia cam totul de la capăt fiindcă cerințele industriei sunt în mare parte diferite de ceea ce le-a oferit educația formală primită în școli sau informală, prin hobby-uri sau proiecte personale. Atunci visul academic se sparge în mii de bucățele colorate.

Da, să exploreze, să experimenteze, dar să aibă grijă că aproape nimic din ceea ce fac în lumea asta free nu contează, de fapt, când copilul le plânge de foame și au de pus pâine pe masă. Well, asta dacă vrei să te însori.

73 de M

[YO3ITI]

Oricum, ca o mică completare pentru OP:

Vedeți, domnule profesor, cum se realizează un dialog civilizat pornind de la opinii diferite ? Luați aminte de de la YO8RZZ.

Eu nu mă consider civilizat.

73 @ YO3ITI

[yo8rzz]

Este o discutie foarte interesanta, imi face placere sa particip. Sa nu uitam ca YO4BKM a pornit-o

Problema pe care o am eu cu majoritatea sistemelor open-source, free, gpl-like etc, mai mult sau mai puțin subiectivă, este faptul că sunt extrem de heterogene și toate oferă paradigme diferite. De fiecare dată când vrei să folosești altceva, trebuie să o iei de la capăt cu adaptarea și învățatul.

Sunt de acord. Uneori poate fi o modalitate placuta de petrecere a timpului si eliminare a plictiselii, alteori poate fi extrem de enervant, daca esti grabit si ai nevoie sa realizezi ceva repede. Ca aproape orice in viata asta, este vorba despre un tradeoff timp / financiar sau asemanator. In fond, daca esti miliardar, it poti permite sa platesti pe altcineva care are mult timp sa faca treburile astea enervante, in timp ce te relaxezi pe iaht. Iar daca nu esti miliardar, iti petreci noptile citind documentatie obscura pe Internet, ceea ce uneori e aproape la fel de amuzant ca si iahtul (depinde de om).

În plus, aproape în toate cazurile, procesul de instalare și configurare este greoi, necesită în general foarte multe etape, în operare te lovești mai întotdeauna de nevoia de a instala pachete suplimentare (lucru care nu este evident la prima vedere), iar suportul este heterogen, furnizat în general de comunitate, oamenii care o formează având opinii și abordări diferite. În plus depinzi mereu de cod scris de oameni diferiți, nu neapărat care respectă aceleași proceduri și standarde de programare. Timpul pe care îl irosești este uneori considerabil și asta este o constatare obiectivă.

Sunt si aici de acord. Toate acestea sunt adevarate, si nu doar astea, uneori exista discutii interminabile care seamana cu politica intre oameni cu opinii diferite (pe liste de mail dedicate), pentru stabilirea unor criterii tehnice de referinta care uneori nu sunt asa de importante, alteori sunt. Aceste discutii au importanta lor pentru utilizatorii finali, de aceea proiectele de succes incearca sa ia in considerare totdeauna cat mai multe perspective.

Dar aș putea trece peste toate cele de mai sus dacă aș avea la îndemână o documentație utilizabilă și eficientă. Cu mici excepții, documentația este aproape inexistentă sau se adresează unui anumit nivel de cunoștințe, sau este scrisă dezorganizat.

Aproape toate proiectele free software de mare succes au documentatie impecabila, daca nu chiar foarte buna. Insa o mare parte din cunostinte se gaseste si in mediul online, in comunitati dedicate. Realitatea e alta de fapt. La un proiect open source ai pus mana pe Sphynx, Doxygen sau direct pe cod, si ai aflat repede tot. La un proiect closed source, de obicei comercial, trebuie sa semezi NDA peste NDA ca sa ai acces la un amarat de spec tehnic, si de obicei trebuie sa lucrezi cu avocatul peste umarul tau ca sa te asiguri ca nu calci peste vreun patent sau nu esti inafara termenilor licentei (de obicei cat mai obscura posibil, daca se poate doar un avocat cu 10 ani experienta in litigii comerciale sa o inteleaga).

firmele preferă întotdeauna mentenanța plătită și suportul pe bază de SLA din motive evidente. Ceea ce, din câte știu, nu oferă nici un soft free (SLA-based agreements).

Sa fim seriosi aici, cunosc cazuri de aplicatii la care costa licenta zeci de mii de dolari per CPU si la care a devenit foarte greu sa rezolvi o problema atunci cand inevitabil apare pentru ca software-ul era closed source si compania respeciva s-a retras de pe piata. Deci probleme apar si la case mai mari iar SLA-ul mai depinde si de asteptari, prea s-a obisnuit lumea sa aiba non-stop la dispozitie servicii online su nu mai poate functiona daca vendor-ul are o problema cateva ore (cum a picat un pic de pilda AWS ieri).

Realitatea e tragică. Când ajung să caute de lucru, descoperă că trebuie să reia cam totul de la capăt fiindcă cerințele industriei sunt în mare parte diferite de ceea ce le-a oferit educația formală primită în școli sau informală, prin hobby-uri sau proiecte personale. Atunci visul academic se sparge în mii de bucățele colorate. Da, să exploreze, să experimenteze, dar să aibă grijă că aproape nimic din ceea ce fac în lumea asta free nu contează, de fapt, când copilul le plânge de foame și au de pus pâine pe masă.

Nu-mi dau seama daca e si partial ironie aici sau nu. In cazul in care nu e umor intentionat, o sa incerc totusi sa vin cu o parere diametral opusa care provine din experienta in industrie. Realitatea sta cam asa: o mare parte dintre "tinerii" care lucreaza in domeniu astazi isi datoreaza cariera si painea pusa pe masa tocmai existentei unor proiecte open-source (sisteme de operare, limbaje de programare, compilatoare, aplicatii high-level). Si nu numai oameni de rand, ci si companii mari, o sa dau aici ca exemplu pe Google a carui infrastructura in anii de glorie consta in GNU/Linux, GCC si Python, kernel-ul Linux de la baza Android etc. Amazon idem, pentru care GNU/Linux, MySQL, Postgres, SQLite au constituit o fundatie, etc., Microsoft care in mod aproape ironic are Azure bazat in mare parte pe GNU/Linux si il angajeaza pe Guido van Rossum (autorul Python)

Ei, ghiciti acum ce tip de job-uri ofera aceste companii si cu ce fel de software lucreaza zi de zi programatorul in ziua de azi. As putea sa mai dau exemple dar se lungeste prea mult ciorba. Ideea este ca lumea asta e mare, ecosistemul este populat de foarte multe specii si e loc din fericire si pentru aplicatii pe care noi nu ni le permitem sa le tinem prin casa dar si pentru aplicatii free software care practic tin in viata economia si duc la imbunatatirea progresiva si permanenta a cunostintelor noastre. Le datoram foarte mult celor care si-au sacrificat cert timpul liber si poate profitul ca sa ne ofere o baza solida si LIBERA pe care sa construim.


Ca sa nu fiu complet pe aratura (offtopic) in acest post, o sa va indemn sa cititi un pic despre FlexRadio. Un producator foarte serios, la costum si cravata chiar, daca tinem cont cu cine are contracte de furnizare. Ei, ceea ce este interesant este ca FlexRadio ofera in transceiverele sale "ham" si optiunea modulatiei digitale FreeDV (expusa mai sus). De ce face asta un producator serios? Simplu, pentru ca un fondator a fost si este radioamator

73,
Adi

[YO4BKM]

Am început un subiect pe un caz concret, anume o categorie de semnale diferite între ele dar care au același spectru. Și am arătat un exemplu în care componentele care au frecvențe diferite apar fie simultan, fie succesiv, alura semnalului este diferită dar spectrul este același. Însă reconstituirea semnalului din spectru nu mai duce la semnalul inițial. Caz practic la semnalele modulate în amplitudine (AM sau SSB) sau sub formă de trenuri cu frecvențe diferite la transmisiile de tip FSK. Dar pentru unul care „habar nu are cu ce se mănâncă domeniul ăsta” sau care nu „poartă discuții civilizate” și trebuie „educat”, subiectul a fost deviat spre alte teme „instructive”.

Nu intenționam să limitez subiectul abordat la compararea celor două spectre. Existența unor astfel de semnale cum ar fi semnalele seismice, a seriilor de timp financiare sau a unor semnale biomedicale, operaţii de filtrare care să determine în forma de undă rezultată momentele de timp la care apar modificări semnificative ale aspectului semnalului original a avut nevoie de abordarea analizei spectrale pe momente de timp bine precizate. Eu am abordat subiectul folosind transformata Fourier clasică pe domenii finite de timp și funcții de filtrare la reconstituirea semnalului. În 2007 publicam o demonstrație care arată legătura dintre analiza spectrală a undelor și fizica cuantică, folosind principiul incertitudinii al lui Heisenberg (Gheorghe Oproescu. Spectral Function of the Wave and Quantum Physic. Romanian Journal of Acoustics and Vibration, iune 2007, ISSN 1584-7284, pg. 31-34, apărut 2008). Dar a apărut și un alt mod de a analiza semnalelele cunoscut ca Analiza Wavelet, dezvoltat de matematicieni prea puțin obișnuiți cu pragmatismul dar care a început să pătrundă și în zona algoritmilor pentru aplicații concrete în analiza spectrală. Ca exemplu ofer consultarea lucrării aflate la http://scs.etc.tuiasi.ro/iciocoiu/cours ... tolul2.pdf unde se prezintă detaliat principiile analizei Wavelet. Se începe cu spectrul unui semnal format din trei componente armonice dar cu aceeași aplitudine la care spectrul arată amplitudini diferite ale celor trei componente, din cauza limitărilor transformatei Fourier care a fost folosită în ilustrarea exemplului. Mai există o situație semnalată în lucrare, anume existența unor lobi de amplitudine redusă care apar în figura 2.1d pe bună dreptate, din cauza trecerii bruște de la o frecvență la alta, cunoșteam și eu acest lucru pe care l-am evitat prin alegerea corespunzătoare a duratei semnalului. Fac precizarea că un semnal cu o durată infinit de mare ar fi avut o componentă spectrală infinit de înaltă și de grosime zero indiferent amplitudinea sa iar aria de sub spectru avea valoarea finită a unei constante transcendente.
În lucrarea propusă mai sus se semanlează și efectul principiului de incertitudine al lui Heisenberg de care eu am ținut cont în alegerea duratelor semnalelor într-o analiză Fourier pe domenii finite de timp.
Literatură de specialitate sau aplicații soft create în sistemul educațional românesc există pentru oricine, mai trebuie și interes.
Atașez o analiză a semanlelor arătate din prima mea postare, dar la care am folosit analiza Fourier fără nicio restricție și apar lobii cu amplitudine redusă care îmi dădeau mari bătăi de cap pe când nu știam cu ce se mănâncă asta.
Succes la implementarea analizel Wavelet!

73 de Tavi YO4BKM!

[va3fgr]

Domnule Profesor,

Nu doresc sa intru in polemica, motiv pentru care o sa comentez cat pot de scurt.

Transformata Fourier (TF) este un operator inversabil. Mai mult, perechile f(t) <-> F(omega), respectiv x[n[<-> X[k] sunt unice. Prin urmare, faptul ca nu se obtine functia de timp originala in urma inversiunii transformatei, ridica semne de intrebare asupra modalitatii de calcul. Am facut de nenumarate ori acest exercitiu in Matlab si nu am avut dificultati in urma inversiunii; se obtinea exact originalul. De fapt asta este una dintre metodele prin care se pot obtine decalari cu un nr fractional de esantioane a unui bloc de date.

Spectrele rezultate in urma celor doua analize prezentate de dvs. "par sa fie", dar nu sunt si nu au cum sa fie identice, asa cum sugerati in titlul postarii.
Primul semnal este de forma s_a(n]=s1(n)+s2(n)+s3[n]. Presupunem ca s1, s2 si s3 sunt sinusuri.
Al doilea semnal arata cam asa: s_b[n]=s1[n]*(u[n]-u[n-n1]) + s2[n]*(u[n-n1]-u[n-n2]+s3[n]*((u[n-n2]-u[n-n3]) unde am notat cu u[n] saltul treapta unitate, iar n1 si n2 sunt intarzieri.

Datorita periodicitatii impuse de TF Discreta (X(k) = X(k+N) si x[n] = x[n+N],unde N este numarul de esantioane din blocul de date), al doilea semnal este de fapt superpozitia a 3 semnale modulate cu o fereastra dreptunghiulara. Din acest motiv apar lobii laterali.
Chiar si in cazul primului semnal, fereastra este nefericit aleasa, motiv pentru care apare scurgerea spectrala la baza fiecarei componente principale. Aveti mai jos semnalul in timp si spectrul primului semnal.

Va rog sa remarcati zgomotul extrem de scazut (-300dB, de neatins in practica) si care este asociat preciziei de calcul. Va propun sa desenati si graficele dvs. pe o scara verticala logaritmica si sa constatati deosebirile.

Vad ca ati introdus un nou termen, acela de Transformata Fourier Clasica. Inainte vorbeati de TF Completa si am aflat ca de fapt este ceea ce in bransa este recunoscuta ca TF Discreta. Si cea clasica e de fapt tot TF Discreta? Si ca veni vorba, am vazut ca nu va impacati cu TF Rapida. Undeva sustineti ca e "simplificata". Da, e simplificata din pct. de vedere al volumului de calcule, dar rezultatele sunt exact aceleasi cu cele ale TF Discrete. De curiozitate, cat dureaza calcului spectrului unui bloc de 1 milion de esantioane folosing TF Discreta si cat dureaza acelasi calcul folosind TF Rapida? Daca ar fi sa ne luam dupa formula, reducerea timpului de calcul ar fi cam de 20 de ori.

Cu stima,
Gabi