Gheorghe Oproescu - Tavi YO4BKM

William Thomson (lord Kelvin, 1824-1906) protesta, la sfârşitul sec. XIX, cu ocazia intenţiei de a se scoate obiectul “Logică” din şcoli pentru a face loc altor discipline ale ştiinţei moderne, spunând: “Niciun comandant de navă nu poate fi acuzat că nu cunoaşte bine navigaţia pe mări şi oceane. Ceea ce duce însă la naufragii este necunoaşterea logicii care leagă observaţia practică de intimitatea fenomenelor observate”.

Industria de azi oferă la gata orice este nevoie pentru satisfacerea pasiunii noastre: kituri mai mult sau mai puţin complete, aparate gata reglate pentru orice situaţie, softuri de trafic, de depanare, de control şi reglare, dar care ne îndepărtează tot mai mult de miezul lucrurilor. Prin 1975 am văzut la radioclubul judeţean Argeş un dosar cu lucrări scrise ale radioamatorilor la examenele de certificare susţinute cu ani în urmă. Printre cele care mi-au rămas în memorie se afla una cu subiectul “Multiplicarea de frecvenţă” în care se trata, pe mai multe pagini, o întreagă teorie a semnalelor cuprinzând forme, distorsionări şi spectrul de armonice. I-am dat atenţie deoarece cu multi ani în urmă citeam în “Sport şi Tehnică” un excelent serial de articole pe această temă şi simţeam că mă depăşeşte, deşi formalismul fizic şi matematic îmi era foarte familiar prin natura pregătirii mele de specialitate. Atunci mi-am dat seama că radioamatorismul nu este deloc amatorism şi este bine să fie luat de la fundamente, indiferent ce profesie ai avea. Când am început să-mi fac echipamentele pe 144 MHz, după scheme proprii, adaptate la piesele pe care le aveam şi am avut de făcut inclusiv multiplicări de frecvenţă, am văzut la modul concret ce înseamnă să realizezi distorsiunea optimă a undei sinusoidale pentru a avea maximum de energie pe armonica dorită. Şi nu eram singurul care îşi executa echipamentele singur, în clubul argeşean mai erau cel puţin o duzină. Dar, după mai bine de 40 de ani, a devenit accesibil şi comod să ai totul la gata. Cu dezavantajul de a nu mai avea posibilitatea să evaluezi performanţele acestor echipamente folosind alte căi decât tot pe cele oferite de furnizor, pentru că nu mai ai nici timpul, nici resursele să înţelegi cum, nu ce face achiziţia în care ai investit doar bani. Timpul prea scurt într-o eră prea alertă sau cine ştie ce alte interese tot “fură” sau duc în necunoaştere intimitatea fenomenelor observate iar noi devenim tributarii unor analize făcute de alţii, care au programat nu numai cum să funcţioneze echipamentele prevăzute cu inteligenţă artificială, dar au programat în ele inclusiv ipoteze proprii, de multe ori neprecizate. Am întâlnit aplicaţii tip soft pentru analiza multor tipuri de circuite, de la filtre la antene şi am constatat cu uimire că grafice cu asimptote erau rezolvate în formă continuă, cu valori finite pe tot domeniul. Am înţeles greşeala, programatorul a fost comod când a rezolvat asimptota (destul de migălos şi cere ceva fantezie) şi, pur şi simplu, a programat ca mărimilor care depăşesc o anumită limită să li se atribuie valori finite pentru a nu avea probleme cu scalarea graficelor. Dacă nu aş fi cunoscut că fenomenul descris de aplicaţie are discontinuităţi, aş fi tras multe concluzii greşite. De aceea cele ce urmează reprezintă o pledoarie pro domo a tainelor din spectre. O fac fără să dezvolt vreun aparat matematic care ar putea îngreuna înţelesul, dar pe care l-am folosit la construirea exemplelor cu care voi susţine prezentarea. Înainte de a intra în detalii, fac o precizare: convenţional au existat două categorii de spectre, spectre cu componente discrete (seria Fourier) şi spectre continui (transformata Fourier). La care, de ani buni, s-a mai adăugat încă una: spectrele semnalelor eşantionate, care s-a separat din spectrele continui, dar formează deja o categorie distinctă.

1.      Spectrele seriei Fourier.

Acestea se folosesc numai la semnalele strict periodice pe toată durata lor, care au o pulsaţie (frecvenţă) de bază numită pulsaţie (frecvenţă) fundamentală, w₀. Sunt cele mai cunoscute şi, poate de aceea, tind să ţină locul oricăror alte tipuri de spectre, conducând la erori dacă nu sunt folosite în deplină cunoştinţă de cauză.

Ceea ce se numeşte serie Fourier este un şir infinit de termeni creat artificial cu scopul de a compune orice formă de semnal periodic, nu de a descrie spectrul real al semnalului. Fiecare termen reprezintă o componentă pur armonică (de formă sinusoidală, cu amplitudinea şi faza iniţială strict constante), a cărei pulsaţie este aleasă dinainte să fie un multiplu întreg al pulsaţiei fundamnetale, respectiv 1w_0, 2w_0, 3w₀ ... kw₀, k tinde la infinit. Aceşti termeni poartă numele de componente armonice (sau, pe scurt, armonice) de ordinul 1, 2, 3 ... k ale semnalului de bază. Există şi o pseudoarmonică de ordinul 0, respectiv un semnal continuu de valoare constantă, care caracterizează asimetria semnalului de bază. Amplitudinea şi faza iniţială a fiecărei armonice, inclusiv de ordinul 0, se află recurgând la calculul integral clasic sau, mai nou, numeric [1]. Caracteristicile spectrului dat de seria Fourier sunt:

- Un semnal pur sinusoidal (semnal armonic) are ca armonică numai pe el însuşi (armonica de ordinul 1), celelalte armonice au amplitudini nule;

- Un semnal asimetric are numai armonice pare, figura 1;

- Un semnal simetric are numai armonice impare, figura 2;

- Spectrul nu depinde de durata semnalului în timp.

Cele arătate mai sus au multiple utilizări în special în domeniul sintezei semanlelor periodice nearmonice, dar se folosesc şi la dimensionarea multiplicatoarelor de frecvenţă, pornind de la o frecvenţă de bază a unui semnal armonic care este distorsionat prin limitări superioare şi inferioare. Pentru a obţine eficienţă maximă la multiplicare semnalul trebuie distorsionat în mod diferit funcţie de armonica pe care o dorim să fie maximă. În tabelul nr. 1 se prezintă nivelele limitărilor pe semialternanţele semnalului de bază funcţie de ordinul armonicei, semnalul de bază având amplitudinea egală cu 1, precum şi amplitudinea maximă ce poate fi atinsă pentru armonica dorită. Aceste nivele de limitare se pot exprima fie ca procente din amplitudine, fie ca unghiuri de fază între care există semnalul de bază, figura 3. O perioadă a semanlului întreg se întinde pe un unghi de fază cuprins între 0⁰ şi 360⁰, folosesc notaţiile în grade deoarece sunt mai comune, în aplicaţii trebuie folosite valorile în radiani. În figura 3 semialternanţa superioară aparţine unei sinusoide între unghiurile de fază j₁ şi j₂  plus  j₃ şi j₄ , între  j₁ şi j₂  semnalul este limitat la o valoare constantă de 0,850 din amplitudinea iniţială.  La fel stau lucrurile şi pentru semialternanţa inferioară, limitarea fiind la valoarea de -0,450 din amplitudinea iniţială. Ca exemplu concret, un nivel de 100% al unei semialternanţe înseamnă că semanlul există între fazele 0---180⁰ dacă ne referim la semialternanţa superioară sau între 180⁰-360⁰ dacă ne referim la o semialternanţă inferioară, un nivel de 50% înseamnă un semnal între fazele  0⁰-30⁰ plus 150⁰-180⁰ respectiv 180⁰- 210⁰ plus 330⁰-360⁰.

Tabelul nr. 1. Limitările optime ale semnalului sinusoidal pentru diferite armonice

Se observă scăderea semnificativă a amplitudinii cu ordinului armonicei şi, poate cel mai dezavantajos lucru, micşorarea unghiurilor de fază pentru care semnalul trebuie să îşi păstreze forma sinusoidală, ceea face dificilă distorsionarea lui corectă conform teoriei. La acestea se adaugă dificultatea separării armonicii dorite prin filtrare de armonicele adiacente. De aceea nu se folosesc multiplicări de frecvenţă mai mari de 3, uneori se ajunge la 5 şi, în situaţii excepţionale la 10. Distorsionarea se face foarte simplu pentru armonica a doua, folosind o diodă, pentru celelalte armonice sunt necesare componente active polarizate corespunzător în raport cu nivelul semnalului supus distorsionării.

Se mai pot folosi pentru multiplicare de frecvenţă şi alte forme de semnal [2], în figura 4 se arată spectrele semnalelor triunghiular şi dinte de ferăstrău. Semnalul triunghiular admite o linie de simetrie şi generează numai armonice impare, semnalul dinte de ferăstrău generează toate armonicele. La semnalul triunghiular armonica nr. 1 are amplitudinea de 81% din amplitudinea semnalului, la dintele de ferăstrău această armonică are valoarea de 32%. Prin comparaţie grafică se poate deduce şi amplitudinea celorlalte armonice. Spectrul semnalului dinte de ferăstrău rămâne acelaşi şi dacă semnalul se deplasează deasupra sau dedesubtul axei timpului deoarece rămâne simetric în raport cu el însuşi, apare în schimb componenta de ordinul 0 care nu interesează.

2.      Spectrele continui.

Spectrele continui apar la orice fel de semnal, fie el periodic sau neperiodic. Evidenţierea lor se face cu transformata Fourier, care este de fapt un operator matematic care transformă o funcţie reală de timp (semnalul) într-o funcţie complexă, al cărei modul este chiar spectrul şi se mai numeşte funcţie spectrală. Datorită dificultăţilor la calcularea transformatei Fourier (o integrală improprie dintr-o funcţie de variabile complexe) s-a propus o variantă simplificată, transformata Fourier rapidă (TFR pe româneşte, FFT – fast Fourier transform – pe englezeşte) care produce însă atât confuzii destul de mari la interpretarea spectrului cât şi erori de determinare. Deşi tehnica de calcul de azi nu mai se împiedică în calcularea prin transformata Fourier clasică, mulţi preferă să folosească TFR deşi în lumea ştiinţifică sunt probate dezavantajele ei. Unele din ele le voi arăta şi eu.

Un spectru continuu are componente armonice pentru orice pulsaţie (frecvenţă) cuprinsă pe un domeniu continuu între 0 şi infinit, nu doar pentru anumite frecvenţe discrete ca la seria Fourier. El se deosebeşte fundamental de spectrul seriei Fourier deoarece depinde şi de durata semnalului. Pentru semnale periodice spectrul continuu prezintă maxime în jurul frecvenţelor care apar în spectrul discret dat de seria Fourier. Figura 5 arată spectrul continuu al unui semnal pur sinusoidal cu amplitudinea egală cu 1, care durează o perioadă (figura 5 stânga) sau trei perioade (figura 5 dreapta).

Conform seriei Fourier spectrul nu ar fi trebuit să aibe componente armonice, din modul cum a fost concepută această serie nici nu au cum să apară, în schimb transformata Fourier realizează o analiză completă a semnalului, evidenţiind un spectru care caracetrizează distribuţia energiei în semnal. Figura 6 arată spectrul continuu al semnalelor pentru care figura 4 arată spectrul discret.

Cu creşterea duratei semnalului, exprimată în număr de perioade, spectrul unui semnal pur armonic se grupează în jurul pulsaţiei semnalului de bază iar amplitudinea creşte. Valoarea amplitudinii din graficul spectrului nu are legătură cu amplitudinea componentei spectrale ci aria mărginită de curba spectrală este o măsură a distribuirii energiei din spectru pe diferite frecvenţe. Pentru un semnal sinusoidal care durează infinit de mult spectrul devine o linie verticală fără grosime aşezată pe pulsaţia fundamentală, cu amplitudinea infinită, dar care mărgineşte o arie finită, cu valoarea 3,74.... indiferent frecvenţa şi amplitudinea semnalului. Pentru cine este obişnuit cu asemenea cidăţenii poate că nu îi este străină funcţia Dirac, cu aceleaşi proprietăţi, numai că aria mărginită de ea are valoarea 1, deoarece este o funcţie construită artificial.

Ce am arătat mai sus este în schimb “găselniţa” mea [4], voi mai evidenţia şi altele, cum ar fi aceea că restrâgerea spectrului cu creşterea duratei sale respectă unul din principiile de incertitudine ale lui Heisenberg [3], dar fără importanţă pentru ce urmează. Important este că din punct de vedere spectral două semnale periodice sunt identice nu numai dacă au aceeaşi formă şi valori în timp, ci şi durată. Semnalele neperiodice au şi ele spectre continui care caracterizează fiecare tip de semnal şi îi determină ce se numeşte amprenta semnalului.

3.      Spectrele semnalelor eşantionate.

Un semnal eşantionat este un semnal periodic sau neperiodic întrerupt periodic în timp. Asta înseamnă că semnalul nu mai este continuu iar valorile sale sunt cunoscute numeric (digital) numai la momente discrete, separate de intervale regulate de timp dt, figura 7. Şi valorile f(t) pot fi eşantionate pe nivele discrete, dar acest lucru nu influenţează ce va urma în prezentare. Importantă este doar eşantionarea în timp.

Am arătat că un semnal continuu are un număr infinit de mare de componente spectrale cu pulsaţia distribuită pe un domeniu continuu, fără “goluri”. Mai exact spus, pentru orice pulsaţie aleasă în intervalul 0---infinit există o componentă armonică cu o amplitudine şi fază iniţială bine precizate. Numai că acest lucru este valabil doar la semnalele continui. Un semnal eşantionat (întrerupt periodic), la care valoarea funcţiei f(t) se cunoaşte numai la momente discrete, va avea limitată superior pulsaţia maximă din spectru, cu toate că semnalul continuu din care provine poate avea componente spectrale cu pulsaţii oricât de mari. Este vorba de teorema eşantionării sau teorema lui Shannon (formulată în 1948), cunoscută şi ca teorema Nyquist–Shannon, care arată, în esenţă, că un semnal eşantionat nu poate conţine armonice cu pulsaţia mai mare de p /d t (frecvanţa maximă fiind n/2, n=numărul de eşantioane pe secundă). Demonstraţia este destul de pretenţioasă dar se poate înţelege şi empiric. Admiţând că dorim să cunoaştem amplitudinea şi faza iniţială ale unei componente armonice cu pulsaţia oarecare w, pentru a putea fi determinate trebuie rezolvat un sistem de două ecuaţii ale armonicei, în care vor apare valorile cunoscute din semnal la orice momente de forma t şi t + d t. Dacă respectiva componentă armonică are perioada mai mică decât intervalul d t este evident că ecuaţiile nu mai pot exista, de aceea armonica cu pulsaţia cea mai mare nu poate avea o perioadă mai mică decât de 2 ori valoarea d t. Problema se poate pune şi invers, dacă dorim ca o transmitere pe eşantioane a semnalului să aibe componente cu pulsaţii până la o valoare w_max atunci eşantionarea trebuie făcută cu o valoare d t mai mică decât p / w_max. Astăzi această teoremă are o importanţă covârşitoare în transmisiile digitale audio-video dar şi de internet cu implicaţii în fidelitate, rezoluţie, densitate de informaţie, lărgime de bandă etc. De exemplu, un semnal video eşantionat cu 5000 kbps (formatul MPEG 2 la calitatea maximă) asigură procesarea informaţiilor din semnal până la o frecvenţă de 2,5 MHz.

Dar spectrul continuu, chiar şi pentru semnale eşantionate, mai oferă şi alte perspective.

De exemplu identificarea originii unui semnal pe bază de amprentă spectrală (în cazul vocilor, pe bază de amprentă vocală, proprie oricărei persoane, precum amprenta dactiloscopică), figura 8, unde se vede spectrul vocalei „a” rostită de autor şi discretizată cu 8000 de eşantioane pe secundă, ceea duce la o frecvenţă maximă de 4000 Hz a componentelor din spectru. Captarea şi digitizarea semnalului am făcut-o cu un microfon cuplat la calculator şi folosind utilitarul Sound Recorder, rezident pe Windows, care permite setarea eşantionării după dorinţă. Apoi am prelucrat fişierul wav astfel creat cu un soft propriu, construit pe baza transformatei Fourier clasică şi a rezultat un spectru tot în formă discretă, nici nu ar fi fost posibil altfel pe cale numerică. Multe aparate şi aplicaţii soft care oferă pe un display spectre sub formă de bare variabile pe înălţime folosesc şi aici TFR, din motive de calcul simplificat şi rapid, oferind rezultate spectaculoase dar insuficient de corecte pentru o cercetare detaliată a spectrului.  

Se mai pot face filtrări destul de interesante. Aşa cum există o transformată Fourier de la semnal la spectru, există şi o transformată Fourier inversă (care, din fericire, nu mai are varianta „rapidă”), de la spectru se reface semnalul, tot cu o integrală improprie din funcţii complexe. Numai că, în procesul de refacere a unui semnal din spectrul său, se poate modifica după dorinţă amplitudinea componentelor spectrale ale anumitor frecvenţe şi astfel se poate schimba timbrul vocii, se pot accentua componenele care interesează sau se pot reduce ori elimina componentele nedorite (zgomotul). Pentru aceste operaţii nu se mai poate folosi TFR ci numai transformata clasică şi, mai mult, mai este nevoie de o nouă teoremă care mult timp a „plutit” în aer sub o formă empirică.

Personal am realizat o demonstraţie analitică exactă a acesteia, care a fost omologată la o conferinţă internaţională de procesare a semnalelor cu mulţi ani în urmă [4], ca o a doua teoremă a eşantionării sau ca o complementară a teoremei lui Shannon. In esenţă, pentru ca transformarea inversă de la spectru la semnal să fie corectă, se impune ca numărul de eşantioane din spectru să fie cel puţin jumătate plus 1 din numărul de eşantioane din semnalul căruia i s-a aflat spectrul. În caz contrar (de exemplu, chiar dacă lipsesc numai 2---3 eşantioane spectrale din cîteva sute) semnalul refăcut nu mai are nimic comun cu cel iniţial. În figura 8 semnalul iniţial este desenat cu negru iar semnalul reconstituit fără filtrare, deci pe baza întregului spectru, este desenat cu verde şi deplasat 3 pixeli la dreapta pentru a se distinge mai uşor de semnalul iniţial. Se vede o bună asemănare a celor două semnale.

Semnalul desenat cu verde în figura 9 este prelucrarea semnalului desenat cu negru şi filtrat „trece sus” pentru frecvenţe peste 800 Hz , spectrul său se vede în figura 10.

Regenerarea exactă a semnalelor prin filtrare este foarte anevoioasă, de exemplu pentru un semnal cu durata de 10 secunde din domeniul audio, prelevat cu 32000 de eşantioane pe secundă, care a fost refăcut prin modificarea spectrului, calculatorul a lucrat cca 12 minute în care a prelucrat fiecare eşantion din cele 320000 folosind pentru fiecare prelucrare cele 160001 eşantioane din spectru.

4.      Pentru amatori.

Prelucrarea semnalelor conform celor arătate mai sus a fost făcută cu softuri proprii. Le consider utile la dimensionarea multiplicatoarelor de frecvenţă dar şi la evaluarea spectrului (prin serie sau transformată Fourier) unui anumit tip de semnal. Le pun la dispoziţie oricărui doritor, dacă îmi scrie pe adresa mea de e-mail. Softurile care folosesc transformata Fourier pentru analiza spectrală au dialogurile cu utilizatorul în limba engleză, deoarece l-am folosit – şi mai este folosit de colegi – pentru lucrări prezentate în străinătate. În desenele din această lucrare am tradus toate textele în limba română.

Bibliografie.

[1] Gh. Oproescu, Gh. Cauteş. Metode numerice şi aplicaţii. Editura TEHNICA-INFO, Chişinău 2005, ISBN 9975-63-254-8

[2] Gheorghe Oproescu, Carmen Debeleac. About of the non-harmonical periodical signal spectrum. Romanian Journal of Acoustics and Vibration, dec. 2007, ISSN 1584-7284, pg. 79-82. (apărut 2008)

[3] Gheorghe Oproescu. Spectral Function of the Wave and Quantum Physic. Romanian Journal of Acoustics and Vibration, iune 2007, ISSN 1584-7284, pg. 31-34. (apărut 2008)

[4] Gheorghe Oproescu. Spectral analysis and regeneration of the numerical signals. Proceedings of the 8^th International Conference on Signal Processing (SIP’09), Istanbul, Turkey, May 30 – June 01 2009, ISSN 1790-5117, pg. 55-60 (clasificare ISI).

Gheorghe Oproescu - Tavi YO4BKM

Articol aparut la 28-2-2015

7457